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[物理史] 黎曼 (Riemann) 论弯曲空间的经典演讲

2020-06-10



(译自APS News,2013年6月)

1915年,爱因斯坦基于他在特殊相对论提出的四维时空概念,发表广义相对论,改变了我们对宇宙的看法。他说明时空中的翘曲与弯曲,乃是对质量与能量的回应。广义相对论的几何基础是由德国数学家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann) 于大约60年前的研究所奠定的。

[物理史] 黎曼 (Riemann) 论弯曲空间的经典演讲

黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann) (图片来源:wikimedia commons)

1826年,黎曼出生于现在的德国,家中有6个小孩,他排行第二,父亲是路德教派的牧师,亲自教导儿子直到他10岁为止。年轻的黎曼既害羞又神经质,但很有数学天赋,当他在汉诺威上中学时,他的数学好到有时超越了他的老师。1846年,他父亲凑了足够的钱,送儿子去哥廷根大学 (University of Göttingen) 就读。黎曼起先想要研读神学,以便帮忙维持家裏的生计。但之后,他去上高斯 (Carl Friedrich Gauss) 和斯特恩 (Moritz Stern) 的课,他们都鼓励他改换研习科目。黎曼带着父母的祝福,于隔年转学到柏林大学,跟随当时几个最有名的数学家学习。

两年后,于1849年,他回到哥廷根跟着高斯修习博士学位,于1851年完成複变数理论的学位论文,这是我们现在所说黎曼曲面的基础,高斯形容黎曼论文的报告有着「极其辉煌的独创性」。两年后,黎曼为了求取哥廷根大学的教职而需给演讲时,高斯给他这位耀眼的学生所指定的讲题是几何的基础,这对资浅的数学家来讲似乎是乏味的题目。

虽然黎曼对演讲有恐惧症,然而他并未让他的指导教授失望。他利用此机会发展出一个更高维的极度原创理论,在1854年6月10日的演说「论几何基础上的假说」中,他描述包含如何测定空间曲率的可行定义。此演说在他1866年死后两年才发表出来,现在被视为几何学上最重要的研究成果之一。

黎曼的演说包括两个部份,第一,我们如何定义一个n-维空间,导致黎曼空间和黎曼张量的定义,这奠下了黎曼几何领域的基础。第二,黎曼讨论真实空间的维度,以及该用什幺几何来对其描述。

黎曼的演说轰动成功,虽然他的观念太高深,只有高斯能完全领会其深奥。毕竟高斯在他生涯中曾研究过二维表面的理论,所以能精确地以数学来评量曲率。高斯以前便曾思量推想空间的可能曲率,于1824年给薛维卡特 (Ferdinand Schweikart) 的一封信中坦言说:「我不时会开玩笑地表示,希望欧几里得几何是不正确的。」

高斯证明说,在二维空间中,需要单一个数目来说明附近一点的曲率(高斯曲率),黎曼将此概念延伸到任何维度的空间,证明需要6个数目来描述三维空间任一点的曲率(黎曼度量),四维空间则需20个数目。黎曼曲率张量则只是空间任一点描述其曲率数目的总和。

黎曼继续在其他领域例如分析、数论、以及複数流形理论等方面做出宝贵的贡献。虽然哥廷根大学于1857年聘任他为有给职的教授,但他的师长努力为他在哥廷根争取讲座职位,皆未能成功。那一年他发表Abel函数的研究论文,以接续他的博士论文,并进一步延伸他在黎曼曲面的拓扑性质的概念。他终于在1859年获聘为哥廷根大学数学系的讲座教授,并被选入柏林科学院。1862年,他和妹妹的朋友结婚,生了一个女儿。

然而,他在生活和职业方面的幸福快乐皆很短暂。黎曼的身体一向不好,结婚后那年他罹患重感冒,导致肺结核。那年冬天,他到温暖的西西里岛避寒,但却没完全康复。因为健康恶化,后来几年他来回于哥廷根和义大利,于1866年7月20日病逝,享年39岁,当时他正在义大利有名的马久雷湖 (Lake Maggiore) 边调养身子。有人猜测,他的管家在他死后整理他的办公室时,很可能丢弃了几份未发表的研究。

黎曼在数学和物理方面的影响力一直未减,爱因斯坦后来观察黎曼的研究后说:「物理学家的思考方式仍和他很不一样。」

「只有黎曼的天才,当年孤独而无人理解,终于克服万难,在上世纪中成就了空间的新概念,让空间不再僵硬,且被认知可以参与物理事件并产生影响。」现在数学家仍努力思考他的概念所带来意想不到的结果。

除了爱因斯坦外,黎曼对几何学重大的贡献很可能也鼓舞了卡罗(Lewis Carroll,笔名),即牛津大学数学教授道奇森 (Charles Dodgson),在创作《爱丽丝梦游仙境》 (Alice in Wonderland) 和《爱丽丝镜中奇遇》 (Through the Looking Glass) 两本儿童文学作品的灵感。道奇森实际是传统的欧几里得派,他喜欢欧几里得的平面空间。道奇森为爱丽丝在很多方面所创造出虚幻世界的荒谬,反映出19世纪末数学界知识的遽变,而致学者得费力地思考混乱的、充满弯曲空间与虚构数目的镜中世界。


原文刊载于物理双月刊2016年6月号38卷第3期,感谢杨信男教授同意授权刊载。

系列文章100篇已集结成册,由五南出版,书名为《物理奇才奇事》。


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